5.7 最小化有限状态自动机

将NFA转换为DFA通常会在自动机中增加大概10个左右的因子,因而使得自动机变得更大,甚至偶尔会使自动机严重膨胀。考虑到对于大型自动机来说,一个10个数量左右的因子增长可能就是一个大问题了;即使是一个小的表格,如果需要存储在一个小型电子设备中,那么任何大小的增加都是难以接受的;但是大尺寸的因子增加的出现是难以预料的,因此很有必要尝试减少DFA中的状态数量。

此处介绍的DFA最小化算法的关键思想是,在我们看到差异之前我们都将状态视为等效状态。因此该算法将DFA状态保存为多个互不相交的子集(“分区”)。一个集合S分区S的子集的集合,S的每个元素会处于某个子集中;也就是说,S被划分为互不相交的若干个子集。该算法使用迭代的方式划分子集,根据状态的不同来进行划分。

我们使用图Fig5.23(b)的DFA为例;它可以通过图Fig5.23(a)中的NFA生成,通过A = SQB = P算法子集,并且不是最小子集,如我们所见。

图1

最初我们将状态集氛围两个子集:一个包含所有可接受状态,另一个包含所有其他状态;这些肯定是不同的。在我们的示例中,这将带来一个包含状态SBA的子集,以及一个包含可接受状态♦的子集。

接下来,我们反过来在处理每个子集Si。如果Si存在两个状态q1q2,则在某些符号上,a已经转换到现在分区的不同子集的元素上,如此我们找到了不同处那么Si就必须分离出来。假设我们有q1r1q2r2,而r1属于子集X1 r2属于不同的子集X2,那么Si必须被拆分为包含q1Si中其他所有状态qj(其中满足qjrj,且rj包含于X1)的子集,以及另一个包含其余所有来自于Si的状态的子集。如果q1a上没有转换但q2有(或者反过来),那我们也能发现不同,并且Si依旧要被分割。

在我们的例子中,状态SAa上存在转换(指向相同状态,♦),但是状态B并没有,因此这个步骤将生成两个子集,一个包含状态SA,另一个包含状态B

我们重复将此步骤应用于分区的所有子集,直到不能在拆分为止。最终一定会是这样,因为子集的数量是有限的:分区中的子集不会比原始DFA中的状态多,并且在整个过程中不会出现合并子集的情况。(这是闭包算法的另一个示例。)

完成这个过程后,生成的分区的子集Si中的所有状态都有以下属性,对于任何字母符号a它们关于a的转化结束于分区的相同子集Si(a)。因此,我们可以认为每个子集是最小化DFA的一个单一状态。最小化DFA的起始状态由包含原始DFA起始状态的子集表示,而最小化DFA的可接受状态由包含原始DFA可接受状态的子集表示。事实上,生成的DFA即为识别我们开始使用的 DFA 指定的语言的最小 DFA。见Hopcroft and Ullman [391]。

在我们的示例中,我们已经无法在进行拆分,结果DFA如下图所示。

图2

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