5.5 正则语言的操作

在第2.10节中,我们讨论了CF语言上的操作“union”,“intersection”,“negation”,并发现后面两种并不一定会产生CF语言。对于正则语言来说,情况更简单:这些正则语言的操作集合都可以得到正则语言。

为FS自动机A1A2定义的两个联合正则语言创建一个FS自动机很简单:只需要创建一个新的起始状态,并将ε转换从该状态添加到A1A2的起始状态。如果需要ε转换可以去掉,如5.3.1所述。

有一个有趣的方法来获取由FS自动机定义的正则语言L的反面(补充),前提是自动机是非ε的。当自动机是非ε时,其中的每个状态t都直接显示令牌集Ct,其中使自动机状态为t的输入可以继续:Ctt的传出转换的令牌集。这意味着如果字符串继续带有不在Ct中的令牌,那么这个字符串不再L中,因此我们得出结论此字符串为¬L。现在我们可以通过在所有不在Ct中的令牌上添加传出箭头(并将这些箭头引导到非接受状态,我们称之为s-1)来完成状态t。如果我们对自动机(包括s-1)的所有状态都进行这样的补全,我们将获得一个完全自动机,即所有转换都定义好了的自动机。

图Fig5.7的自动机的完整版本如图Fig5.20所示,其中非接受状态标记为✘。

图1

一个完整的自动机的重要性在于它永远不会在卡在任何(有限的)输入字符串上。对于属于自动机语言L的字符串,它以可接受状态结束;对于不属于自动机语言的字符串,它以非接受状态结束。这就建议获取L的一个自动机补全(反向):交换可接受状态和非可接受状态,通过让可接受状态变为不可接受,非接受状态变为可接受来完成。

注意,补全自动机已经破坏了它的异常检测属性,因为它不会拒绝一个首字符有问题的输入字符串,然后在完成所有的操作后在返回。

补全过程要求自动机是非ε的。通过其确定性,这很容易实现,如第145页所述,但可能有些过度了。有关仅删除ε转换,请见问题5.4。

现在我们有了FSA的反向自动机,构建两个FSA的交集似乎很容易:只要联合两个自动机,取交集的结果在取非即可,适用摩根定律p ∩ q = ¬((¬ p) ∪ (¬q))。但有一个问题。只有当自动机是非ε的,并且取交集过程中将两个ε转换处于非常特殊的位置时,取交集才是容易的,这使得这种方法并不是很让人喜欢。

好在构建两个FS自动机的交集可以避免这些问题:同时运行两个自动机,在一个新状态下同时追踪两个自动机的状态。例如,我们会将图Fig5.7的自动机A1和一个FSA A2(要求输入包含序列 . *ba. * )取交集。它需要3个状态,我们称之为1(起始态),2和♦(接受态);他有以下转换:

我们在组合状态S1中取自动机A1A2的交集A1 ∩ A2S1状态由A1的起始态SA2的起始态1组成。对于A1中每一个 转换,和A2中每一个 转换,在A1 ∩ A2中我们创造了一种新的转换 。这为我们带来了图Fig5.21(a)的状态树;对应的FSA见(b)。可以看到它与图Fig5.7的类似,除了缺少了 :由于要求字符串包含ba序列因此删除了它。

图2

原则上,FSA与n种状态的交集和与m种状态的交集,可能需要n × m种状态,但实际上像c × (n + m)这种,通常当c值较小时其才相等。

相反,一个复杂的FSA可以拆分为两个简单FSA的交集,这需要更大的内存,但有时也不能进行拆分。但不幸的是鲜有关于如何进行拆分的论文,只有一些思考:参见问题5.7。这个过程也称为“分解(factorization)”,但这也意味着一些问题,由于它表示我们找到的分解因子具有相同的特性,因此这意味着FSA的分解并不唯一。

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